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2020-04-01 來源︰he) ㄉ淦低/span>作者︰Knight 我要評lan)0) 字號︰

快速傅(fu)里葉變(bian)換(FFT)實(shi)現了時域到頻域的轉換,是信(xin)號分(fen)析中最(zui)常用的基(ji)本功能之一。FFT變(bian)換時bao) 蓯譴永 ? 醒∪∫徊bu)分(fen)處理,將其稱為一幀數據。而(er)且FFT是在一定假(jia)設(she)下完成(cheng)的,即認為被處理的信(xin)號是周期(qi)信(xin)號。因此,FFT之前會(hui)對這一幀數據進行周期(qi)擴展。

以CW信(xin)號為例(li),如果選取的這一幀數據不是信(xin)號周期(qi)的整(zheng)數倍,則在周期(qi)擴展時會(hui)存(cun)在樣點的不連續性,如圖(tu)1所示。這將導致(zhi)FFT之後(hou)得到的頻譜失真,主(zhu)要體現在頻率成(cheng)分(fen)上(shang)。理論(lun)上(shang),頻譜中只包含待測信(xin)號的頻率,但實(shi)際上(shang)此時的頻譜包含眾(zhong)多(duo)的頻率分(fen)量。通常將這種(zhong)現象稱為頻譜泄露效應。

圖(tu)1. 周期(qi)擴展造成(cheng)樣點不連續

為了抑zhong)破燈仔孤緞?Γ 梢圓捎彌釗anning、Kaiser等多(duo)種(zhong)時間窗。還(huai)有(you)一種(zhong)特殊的時間窗——矩(ju)形窗,其實(shi)就是不加(jia)時間窗,直接對原始樣點做FFT變(bian)換,上(shang)述(shu)例(li)子(zi)就是采用矩(ju)形窗的情況。只有(you)采用矩(ju)形窗,而(er)且窗寬度不是信(xin)號周期(qi)的整(zheng)數倍時bao) 嘔hui)發生明顯的頻譜泄露效應。

本文(wen)的重點並(bing)非介紹如何(he)采用時間窗抑zhong)破燈仔孤緞?Γ er)是從理論(lun)上(shang)剖析采用矩(ju)形窗時造成(cheng)頻譜泄露的本質。

1. 為什麼會(hui)造成(cheng)頻譜泄露?

圖(tu)1所示的樣點不連續也意味(wei)著相位不連續,存(cun)在180°相位反轉。總體來講,可以yue) 淅斫  轡壞髦zhi),而(er)且是一種(zhong)特殊的相位調制(zhi),調制(zhi)信(xin)號不是經典的正弦波信(xin)號,而(er)是方(fang)波信(xin)號,可以yue) 髦zhi)信(xin)號寫為如下形式︰

式中,T 為調制(zhi)信(xin)號的周期(qi),為一幀波形時長的兩倍。這意味(wei)著在t=0 時刻,載波的相位發生了變(bian)化(hua)。

既然可以理解為相位調制(zhi),則可將已調信(xin)號寫為如下形式︰

式中φm為相位偏移(yi),對于圖(tu)1的例(li)子(zi),φm=π。很顯然,調制(zhi)信(xin)號已經不再是單(dan)頻點信(xin)號,而(er)是多(duo)頻點信(xin)號。對于圖(tu)2所示的周期(qi)為T 的方(fang)波信(xin)號,其頻譜包含DC、基(ji)波及其眾(zhong)多(duo)的奇(qi)次諧波分(fen)量 。

圖(tu)2. 調制(zhi)信(xin)號p(t)的時域波形

滿足Dirichlet 條件時bao) 魏he)周期(qi)函(han)數均可以yue)懈fu)里葉級數展開,p(t) 可以寫為︰

式中,Ω為方(fang)波信(xin)號的基(ji)波頻率,Ω=2π/T。

經過計算,可以得到an 和bn 如下︰

這意味(wei)著p(t) 只包含DC、基(ji)波及其奇(qi)次諧波,但階數越(yue)高,諧波強度越(yue)弱。

可以yue)(t) 重新寫為︰

為簡(jian)便起(qi)見,首(shou)先考慮調制(zhi)信(xin)號只包含DC和基(ji)波的情況,這又回到經典的相位調制(zhi)。

將其代入已調信(xin)號up (t) 後(hou)可得

上(shang)式可以寫為復(fu)指(zhi)數形式

為了進一步分(fen)析,可將進行傅(fu)里葉級數展開,其展開式為宗數為b1φm的第一類貝塞爾函(han)數︰

將其代入復(fu)指(zhi)數表達式

則up (t) 可重新表示為

可以看(kan)出,當只考慮調制(zhi)信(xin)號的DC和基(ji)波時bao) 訓饜xin)號up (t)將包括(kuo)ωc及ωc+nΩ(n為整(zheng)數) 等眾(zhong)多(duo)頻率分(fen)量。

實(shi)際中調制(zhi)信(xin)號還(huai)包含豐(feng)富的諧波分(fen)量,因此對載波進行相位調制(zhi)後(hou)的頻譜更加(jia)豐(feng)富。面對的困難是,考慮的諧波越(yue)多(duo),公式推導越(yue)復(fu)雜。為了簡(jian)化(hua),下面只考慮到3次諧波。

對應的已調信(xin)號為

類似地,可以寫為如下復(fu)指(zhi)數形式

分(fen)別進行傅(fu)里葉級數展開為

經過一番推導可得

由此可見,當考慮到調制(zhi)信(xin)號的三次諧波時bao) 訓饜xin)號up (t) 的頻譜更加(jia)豐(feng)富,包括(kuo)ωc、ωc+nΩ 、ωc+3kΩ及ωc+nΩ+3kΩ(n,k為整(zheng)數) 等眾(zhong)多(duo)頻率分(fen)量。

以此類推,當考慮p(t) 更高階的諧波時bao)  hui)有(you)更多(duo)的頻率項,但是從頻率上(shang)看(kan),各個頻率分(fen)量都是均勻分(fen)布的,而(er)且相鄰(lin)譜線之間的間距(ju)始終為基(ji)波Ω。

2. 下面討zhi) 幌p (t) 主(zhu)要頻率分(fen)量的幅度。

(1) 首(shou)先考慮載波ωc的幅度,以上(shang)面考慮到三次諧波的情況為例(li)。當nΩt+3kΩt=0 時bao) 雜Φ木褪竊夭 fen)量。這要求n=-3k (k 為整(zheng)數),此時可以得到︰

對于第一類貝塞爾函(han)數Jn (x),其奇(qi)偶ji)匭勻縵攏/p>

當n 為奇(qi)數時bao)n (x) 為奇(qi)函(han)數;當n 為偶數時bao)n (x) 為偶函(han)數。

進一步化(hua)簡(jian)可得

因以上(shang)考慮的都是相位偏移(yi) φm=π的情況,故b1φm=2,b3φm=2/3,代入上(shang)式得

對于第一類貝塞爾函(han)數,Jn (2)=Jn (2/3)=0 (n≥5),則

根據第一類貝塞爾函(han)數,上(shang)式計算得到的載波信(xin)號幅度非常微(wei)弱。

(2) 頻率分(fen)量ωc+Ω的幅度分(fen)析。當n=-3k+1 時bao) 雜Φ木褪omega;c+Ω頻率分(fen)量。

由于,且Jn (2)=Jn (2/3)=0 (n≥5),上(shang)式進一步化(hua)簡(jian)得

該頻率分(fen)量的幅度要遠遠大于載波的幅度!

(3) 頻率分(fen)量ωc-Ω的幅度分(fen)析。當n=-3k-1 時bao) 雜Φ木褪omega;c-Ω頻率分(fen)量。

由于,且Jn (2)=Jn (2/3)=0 (n≥5),上(shang)式進一步化(hua)簡(jian)得

該頻率分(fen)量的幅度也遠遠大于載波的幅度!

而(er)且對比 ωc+Ω 和 ωc-Ω 兩個頻率分(fen)量,它們(men)的幅度相同!也就是說,從頻譜上(shang)看(kan),它們(men)是關于載波對稱的!

(4) 頻率分(fen)量ωc+2Ω 的幅度分(fen)析。當n=-3k+2 時bao) 雜Φ木褪omega;c+2Ω 頻率分(fen)量。

雖然(n,k) 的組合很多(duo),但是當階數較(jiao)大時bao)n (2)= Jn (2/3)=0 (n≥5),因此可得

經過計算,該頻率分(fen)量的幅度非常微(wei)弱。

(5) 頻率分(fen)量ωc-2Ω 的幅度分(fen)析。當n=-3k-2 時bao) 雜Φ木褪omega;c-2Ω 頻率分(fen)量。

雖然(n,k) 的組合很多(duo),但是當階數較(jiao)大時bao)n (2)= Jn (2/3)=0 (n≥5),因此可得

該頻率分(fen)量與ωc+2Ω 的幅度相同,依然非常微(wei)弱。

上(shang)面從理論(lun)上(shang)解釋了頻譜泄露的起(qi)因,而(er)且當發生頻譜泄露時bao) hui)產(chan)生眾(zhong)多(duo)的、分(fen)布均勻的頻率分(fen)量,相鄰(lin)譜線的頻間距(ju)取決于FFT時一幀波形的時長。

值得一提的是,相位偏移(yi) φm不僅(jin)對各個頻率分(fen)量的幅度有(you)影響,也會(hui)影響頻率分(fen)布,以後(hou)有(you)機會(hui)再來解釋這一點。

3. 通過使用AWG播(bo)放一個CW信(xin)號驗證上(shang)述(shu)推導。

使用AWG 輸出一個100MHz 頻率shi)W 信(xin)號,波形時長為10.5個周期(qi),如圖(tu)3所示,當循(xun)環播(bo)放時便可以模擬(ni)上(shang)述(shu)的相位不連續性,會(hui)造成(cheng)180°的相位跳變(bian)。

對于這種(zhong)波形時長不是信(xin)號周期(qi)整(zheng)數倍的情況,當單(dan)次播(bo)放時bao) xin)號的頻率就是100MHz ,但是當連續播(bo)放時相當于引起(qi)了相位調制(zhi),按(an)照上(shang)述(shu)理論(lun)分(fen)析,頻譜中將包含很多(duo)頻率成(cheng)分(fen),圖(tu)4給出了信(xin)號的實(shi)測頻譜。

本例(li)中,波形時長為105ns,這意味(wei)著頻譜中相鄰(lin)譜線之間的頻率間隔約為︰4.76MHz,這與圖(tu)4所示的頻譜是吻合的。

圖(tu)3. 波形時長為10.5個信(xin)號周期(qi)

圖(tu)4. 時域波形及其頻譜

小結

對于使用矩(ju)形窗進行FFT時可能存(cun)在的頻譜泄露效應,本文(wen)從理論(lun)上(shang)定性地進行了分(fen)析。究其原因,是因為當進行周期(qi)擴展時造成(cheng)了相位的不連續。相位的不連續可以當作相位調制(zhi)來處理,經過一系列推導最(zui)終解釋了為什麼會(hui)出現zhong)zhong)多(duo)的頻率成(cheng)分(fen)。文(wen)中還(huai)對特定相位偏移(yi)情況下的頻率分(fen)量的幅度進行了分(fen)析。文(wen)末通過一個實(shi)例(li)模擬(ni)了這種(zhong)相位不連續,並(bing)測試了波形和頻譜,實(shi)測結果與理論(lun)推導相吻合。

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主(zhu)題閱讀(du)︰ 頻譜泄露

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